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\begin{document}

\title{含孔洞金属的热导率}
\author{}
\date{}
\maketitle

\tableofcontents

\section{多孔材料热导率理论}
在多孔材料中，热量通过三种过程传播：通过固体的热传导，以及通过孔隙的辐射和对流。当孔隙特征尺寸小于\SI{1}{\milli\meter}时，孔隙内空气流动受限，对流可忽略不计。假设热流沿单一方向（一维情况）传播，且孔隙的存在不会破坏局部热流的单向性（即局部温度梯度仅沿热流方向分布）。{\cite{loeb1954thermal}}

\subsection{热阻定律与热导率串并联关系}
热导率的核心定义源于傅里叶定律，其描述稳定态下热流与温度梯度的线性关系，是后续推导的基础。

\subsubsection{傅里叶定律}
对于长度为$L$、横截面积为$A$的均匀固体棒，当两端维持恒定温差$\Delta T = T_1 - T_2$（$T_1 > T_2$，热流从$T_1$流向$T_2$）时，单位时间内通过棒的热流$\dot{Q}$（热流量，单位：\si{\watt}或\si{\erg/\second}）满足：
\begin{equation}
\dot{Q} = \kappa \cdot \frac{\Delta T}{L} \cdot A
\end{equation}
其中：
\begin{description}
    \item[$\kappa$] 固体材料的本征热导率（单位：\si{\watt/(\meter\cdot\kelvin)}或\si{\erg/(\centi\meter\cdot\second\cdot\kelvin)}）；
    \item[$\Delta T$] 沿热流方向的温度减少量（单位：\si{\kelvin}）；
    \item[$A$] 垂直于热流方向的横截面积（单位：\si{\meter^2}或\si{\centi\meter^2}）。
\end{description}

该式表明：热流与热导率、横截面积、温度减少量成正比，与热流路径长度成反比。

\subsubsection{串联等效热导率}
若材料沿热流方向由两段不同热导率的区域组成（如“固体段+孔洞段”），设：
\begin{itemize}
    \item 固体段：长度$L_s$，热导率$\kappa$，横截面积$A$；
    \item 孔洞段：长度$L_p$，热导率$\bar{k}_p$，横截面积$A$；
    \item 总长度$L = L_s + L_p$，总温差$\Delta T = \Delta T_s + \Delta T_p$（$\Delta T_s$为固体段温差，$\Delta T_p$为孔洞段温差）。
\end{itemize}

稳定态下，两段热流相等（$\dot{Q}_s = \dot{Q}_p = \dot{Q}$），由傅里叶定律得单段温差：
\[
\Delta T_s = \frac{\dot{Q} L_s}{\kappa A}, \quad \Delta T_p = \frac{\dot{Q} L_p}{\bar{k}_p A}
\]
总温差代入总傅里叶定律$\dot{Q} = \kappa_{\text{串}} \cdot \frac{\Delta T}{L} \cdot A$，整理得串联等效热导率$\kappa_{\text{串}}$：
\begin{equation}\label{eq:series_k}
\frac{L}{\kappa_{\text{串}}} = \frac{L_s}{\kappa} + \frac{L_p}{\bar{k}_p}
\end{equation}

\subsubsection{并联等效热导率}
若材料垂直于热流方向由两段不同热导率的区域组成（如“固体区+孔洞区”并列），设：
\begin{itemize}
    \item 固体区：横截面积$A_s$，热导率$\kappa$，长度$L$；
    \item 孔洞区：横截面积$A_p$，热导率$\bar{k}_p$，长度$L$；
    \item 总横截面积$A = A_s + A_p$，总热流$\dot{Q} = \dot{Q}_s + \dot{Q}_p$（$\dot{Q}_s$为固体区热流，$\dot{Q}_p$为孔洞区热流）。
\end{itemize}

稳定态下，两段温差相等（$\Delta T_s = \Delta T_p = \Delta T$），由傅里叶定律得单段热流：
\[
\dot{Q}_s = \kappa \cdot \frac{\Delta T}{L} \cdot A_s, \quad \dot{Q}_p = \bar{k}_p \cdot \frac{\Delta T}{L} \cdot A_p
\]
总热流代入总傅里叶定律，整理得并联等效热导率$\kappa_{\text{并}}$：
\begin{equation}\label{eq:parallel_k}
\kappa_{\text{并}} \cdot A = \kappa \cdot A_s + \bar{k}_p \cdot A_p
\end{equation}


\subsection{单个孔洞的热导率}
孔洞内无固体介质，传热仅通过辐射实现，需基于斯蒂芬-玻尔兹曼定律推导其有效热导率。

黑体的辐射热流密度（单位面积单位时间辐射的热量，$W$，单位：\si{\erg/(\centi\meter^2\cdot\second)}）遵循斯蒂芬-玻尔兹曼定律：
\begin{equation}
W = e \sigma T^4
\end{equation}
其中：
\begin{description}
    \item[$e$] 孔洞表面发射率（$0 \leq e \leq 1$，黑体$e=1$）；
    \item[$\sigma$] 斯蒂芬常数（$\sigma = \SI{5.735e-5}{\erg/(\centi\meter^2\cdot\second\cdot\kelvin^4)}$）；
    \item[$T$] 孔洞表面的绝对温度（单位：\si{\kelvin}）。
\end{description}

对于实际孔洞（非黑体），净辐射热流密度为两端表面的辐射差：设孔洞热流方向厚度为$d$（即孔洞在热流方向的最大尺寸），两端表面温度分别为$T_1$和$T_2$（$T_1 > T_2$），则净辐射热流密度：
\begin{equation}
\bar{W} = W_1 - W_2 = e \sigma (T_1^4 - T_2^4) \label{eq:net_radiation_density}
\end{equation}

式\ref{eq:net_radiation_density}中$T^4$为非线性项，需线性化以匹配傅里叶定律的线性形式。对$T^4$在区间$[T_2, T_1]$应用拉格朗日中值定理：存在$\bar{T} \in (T_2, T_1)$，使得
\[
T_1^4 - T_2^4 = 4 \bar{T}^3 (T_1 - T_2)
\]
其中$\bar{T}$为孔洞内的平均绝对温度，代入式\ref{eq:net_radiation_density}得线性化净辐射热流密度：
\begin{equation}
\bar{W} = 4 e \sigma \bar{T}^3 (T_1 - T_2) = 4 e \sigma \bar{T}^3 \Delta T 
\end{equation}

将辐射传热与傅里叶定律对比：傅里叶定律下，热流密度可表示为$W = \bar{k}_p \cdot \frac{\Delta T}{d}$（$\bar{k}_p$为孔洞的有效热导率）。联立上式与该式，解得单个孔洞的有效热导率：
\begin{equation}
\bar{k}_p = 4 e \sigma \bar{T}^3 d \label{eq:single_pore_k}
\end{equation}
式\ref{eq:single_pore_k}表明：孔洞热导率与发射率、平均温度三次方、孔洞尺寸成正比，符合辐射传热的物理规律。


\subsection{特定形状孔洞的热导率}
孔洞热导率受形状和取向影响，需引入几何因子$\gamma$修正式\ref{eq:single_pore_k}，通用形式为：
\begin{equation}\label{eq:general_pore_k}
\bar{k}_p = 4 \gamma e \sigma \bar{T}^3 d 
\end{equation}
其中$\gamma$为几何因子，由孔洞形状和取向决定，具体取值如下：

\subsubsection{圆柱孔}
\paragraph{取向1：圆柱轴线平行于热流方向}  
孔洞在热流方向的尺寸为圆柱长度$d$，辐射面为圆柱两端的圆形平面，辐射路径为平行直线，几何关系与平面辐射一致，故$\gamma = 1$。

\paragraph{取向2：圆柱轴线垂直于热流方向}  
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[width=0.4\textwidth]{fig/投影图.png}
  \caption{热流流过垂直圆柱孔的投影示意图，实线为热流，虚线为等温线（参考文献[1]Fig.1）}
\end{figure}

在一维情况下，假设孔隙周围固体中的线性热流不受干扰（即固体区域内的等温线仍为垂直于热流方向的平面），可推导孔隙表面的温度分布。设：
\begin{itemize}
    \item 圆柱孔半径为$r$，轴线沿$z$轴（垂直于热流平面$x\text{-}y$），圆柱总长度为$l$；
    \item 热流沿$x$轴方向，固体中两条与圆柱表面相切的等温线温度分别为$T_A$（高温侧）和$T_B$（低温侧），切点为$P$（高温点）和$Q$（低温点）；
    \item 两等温线间距（固体热流路径长度）$\Delta x_{PQ} = 2\sqrt{r^2 - y^2}$（$y$为圆柱中心到等温线的垂直距离，由勾股定理推导）。
\end{itemize}

由线性热流假设，温度降与热流路径长度成正比：
\[
\frac{\Delta T}{\Delta x_{AB}} = \frac{\Delta t_{PQ}}{\Delta x_{PQ}}
\]
其中$\Delta T = T_A - T_B$（总温差），$\Delta t_{PQ} = T_P - T_Q$（孔隙表面温差），$\Delta x_{AB} = 2r$（热流方向总长度，即圆柱直径）。

沿圆柱径向（$y$轴）取矩形片状微元（$y$方向厚度$\mathrm{d}y$，$z$轴长度$l$），微元面积$\mathrm{d}A = l \cdot \mathrm{d}y$。由线性化辐射热流密度公式$W = 4e\sigma \bar{T}^3 \Delta t_{PQ}$，微元辐射热流为：
\[
\mathrm{d}\dot{Q} = 4e\sigma \bar{T}^3 \Delta t_{PQ} \cdot l \cdot \mathrm{d}y
\]

对微元热流积分，其中$\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - y^2}\mathrm{d}y = \frac{\pi r^2}{2}$（半圆面积），总辐射热流：
\begin{equation}
\dot{Q} = \int_{-r}^r 4e\sigma \bar{T}^3 \cdot 2\sqrt{r^2 - y^2} \cdot \frac{\Delta T}{\Delta x_{AB}} \cdot l \cdot \mathrm{d}y = 4\pi e\sigma \bar{T}^3 \cdot \frac{\Delta T}{\Delta x_{AB}} \cdot r^2 l
\end{equation}

对比傅里叶定律$\dot{Q} = \bar{k}_p \cdot \frac{\Delta T}{d} \cdot A$（$A = 2r \cdot l$为孔隙垂直热流的横截面积，$d = \Delta x_{AB} = 2r$），解得：
\begin{equation}
\bar{k}_p = 2\pi e\sigma \bar{T}^3 r
\end{equation}

联立通用形式$\bar{k}_p = 4\gamma e\sigma \bar{T}^3 d$（$d = 2r$），得几何因子：
\begin{equation}
\gamma = \frac{\pi}{4}
\end{equation}

\subsubsection{球孔}
设球孔半径为$r$（热流方向尺寸$d = 2r$），取垂直于热流的环形微元（内半径$y$，外半径$y+\mathrm{d}y$），微元面积$\mathrm{d}A = 2\pi y \cdot \mathrm{d}y$。由线性热流假设，孔隙表面温差$\Delta t_{PQ} = \frac{\Delta T}{2r} \cdot 2\sqrt{r^2 - y^2} = \frac{\Delta T}{r}\sqrt{r^2 - y^2}$。

微元辐射热流为$\mathrm{d}\dot{Q} = 4e\sigma \bar{T}^3 \Delta t_{PQ} \cdot 2\pi y \cdot \mathrm{d}y$，积分覆盖整个球（区间$[0, r]$）：
\begin{equation}
\dot{Q} = \int_0^r 4e\sigma \bar{T}^3 \cdot \frac{\Delta T}{r}\sqrt{r^2 - y^2} \cdot 2\pi y \cdot \mathrm{d}y
\end{equation}

令$u = r^2 - y^2$（$\mathrm{d}u = -2y\mathrm{d}y$），积分结果$\int_0^r y\sqrt{r^2 - y^2}\mathrm{d}y = \frac{r^3}{3}$，代入得总辐射热流：
\[
\dot{Q} = \frac{8\pi e\sigma \bar{T}^3 \Delta T r^2}{3}
\]

对比傅里叶定律$\dot{Q} = \bar{k}_p \cdot \frac{\Delta T}{d} \cdot A$（$A = \pi r^2$为球孔垂直热流的横截面积，$d = 2r$），解得：
\begin{equation}
\bar{k}_p = \frac{16}{3} e\sigma \bar{T}^3 r
\end{equation}

联立通用形式$\bar{k}_p = 4\gamma e\sigma \bar{T}^3 d$（$d = 2r$），得几何因子：
\begin{equation}
\gamma = \frac{2}{3}
\end{equation}


\subsection{最小柱体等效热导率}
实际多孔材料中，包裹空洞的固体形态不规则，故用“最小柱体”（投影拉高形成的规则柱体）包裹空洞，计算整体等效热导率。

\subsubsection{圆柱孔（轴线垂直热流）}
最小柱体为长方体（$x$轴长度$2r$，$y$轴长度$2r$，$z$轴长度$l$），总热流为固体导热与孔洞辐射之和：
\[
\dot{Q} = \int_{-r}^r \left[ \kappa_s \cdot (2r - 2\sqrt{r^2 - y^2}) \cdot \frac{\Delta T}{2r} + 4e\sigma \bar{T}^3 \cdot 2\sqrt{r^2 - y^2} \cdot \frac{\Delta T}{2r} \cdot l \right] \mathrm{d}y
\]

积分化简（代入$\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - y^2}\mathrm{d}y = \frac{\pi r^2}{2}$）：
\begin{equation}
\dot{Q} = 2\Delta T r \left[ \kappa_s \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) + \pi e\sigma \bar{T}^3 l \right]
\end{equation}

对长方体应用傅里叶定律$\dot{Q} = \kappa_{\text{等效}} \cdot \frac{\Delta T}{2r} \cdot (2r \cdot l)$，解得等效热导率：
\begin{equation}
\kappa_{\text{等效}} = \frac{2r}{l} \cdot \kappa_s \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi e\sigma \bar{T}^3 r
\end{equation}

\subsubsection{球孔}
最小柱体为圆柱体（半径$r$，高度$2r$，即球直径），总热流为固体导热与孔洞辐射之和：
\[
\dot{Q} = \int_0^r \left[ \kappa_s \cdot (2r - 2\sqrt{r^2 - y^2}) \cdot \frac{\Delta T}{2r} + 4e\sigma \bar{T}^3 \cdot \frac{\Delta T}{r}\sqrt{r^2 - y^2} \cdot 2\pi y \right] \mathrm{d}y
\]

积分化简（代入$\int_0^r \sqrt{r^2 - y^2}\mathrm{d}y = \frac{\pi r^2}{4}$，$\int_0^r y\sqrt{r^2 - y^2}\mathrm{d}y = \frac{r^3}{3}$）：
\begin{equation}
\dot{Q} = \kappa_s \Delta T r \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) + \frac{8\pi e\sigma \bar{T}^3 \Delta T r^2}{3}
\end{equation}

对圆柱体应用傅里叶定律$\dot{Q} = \kappa_{\text{等效}} \cdot \frac{\Delta T}{2r} \cdot (\pi r^2)$，解得等效热导率：
\begin{equation}
\kappa_{\text{等效}} = \frac{1}{2}\kappa_s \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) + \frac{4\pi e\sigma \bar{T}^3 r}{3}
\end{equation}

\section{异质材料的有效热导率}
多孔材料作为典型的异质材料，局部热导率随位置变化（固体区域与孔洞区域热导率差异显著）。使用“流管模型”，将材料划分为若干平行于热流方向的流管，通过“流管内串联+流管间并联”的逻辑，推导整体有效热导率，将局部热导率整合为宏观等效热导率。
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{fig/流管.png}
    \caption{流管示意图}
\end{figure}

为简化异质材料的热传导分析，流管模型提出以下关键假设：
\begin{itemize}
    \item 材料被划分为若干独立流管，流管轴线平行于热流方向，且每个流管恰好包裹路径上的孔洞或从孔洞间穿过；
    \item 单个流管内仅含“固体段”与“孔洞段”两类均质区域，两类区域沿热流方向呈串联分布；
    \item 热流沿流管单向传递，流管内热流密度$W$恒定（无横向热流交换）；
    \item 材料整体由所有流管在垂直热流方向呈并联分布组成，总热流为所有流管热流之和。
\end{itemize}

\subsection{一个流管的等效热导率}
设单个流管的总长度为$L$（等于材料沿热流方向的尺寸），流管内固体段总长度为$L_s = \sum \Delta x_s$，孔洞段总长度为$L_p = \sum \Delta x_p$（$\Delta x_s$、$\Delta x_p$分别为单个固体段、孔洞段的长度），满足$L = L_s + L_p$。

根据傅里叶定律，流管内的总温度降$\Delta T$等于固体段温度降$\sum \Delta T_s$与孔洞段温度降$\sum \Delta T_p$之和：
\[
\Delta T = \sum \Delta T_s + \sum \Delta T_p
\]
其中：
\begin{description}
    \item 固体段温度降：$\Delta T_s = \frac{W \Delta x_s}{\kappa}$（$\kappa$为固体本征热导率，$W = \frac{\dot{Q}_t}{A_t}$为流管内热流密度，$\dot{Q}_t$为流管热流，$A_t$为流管横截面积）；
    \item 孔洞段温度降：$\Delta T_p = \frac{W \Delta x_p}{\bar{k}_p}$（$\bar{k}_p = 4\gamma e\sigma \bar{T}^3 \Delta x_p$为孔洞有效热导率，$\bar{T}^3$为材料平均绝对温度三次方，因高温下温度沿流管变化平缓，取均值近似）。
\end{description}

将温度降表达式代入总温度降公式，整理得：
\[
\Delta T = W \left( \frac{L_s}{\kappa} + \sum_{p} \frac{\Delta x_p}{\bar{k}_p} \right)
\]
代入$\sum_{p} \frac{\Delta x_p}{\bar{k}_p} = \frac{n_p}{4\gamma e\sigma \bar{T}^3}$（$n_p$为流管内孔洞数量）及$L_s = L(1-P_L)$（$P_L$为流线方向孔洞率，即$P_L = \frac{L_p}{L}$），对整个流管应用傅里叶定律$\Delta T = \frac{W L}{\bar{k}_t}$（$\bar{k}_t$为流管等效热导率），联立消去$W$与$\Delta T$，得流管等效热导率：
\begin{equation}\label{eq:tube_eq_k}
\bar{k}_t = \frac{L \kappa \cdot 4\gamma e\sigma \bar{T}^3}{L(1-P_L) \cdot 4\gamma e\sigma \bar{T}^3 + n_p \kappa}
\end{equation}

这里补充一个孔隙的平均长度，流管上孔隙的平均间距和流线方向孔洞率间的关系。
设单个流管的总长度为$L$（对应文献中的$l$，即流管总长度），流管内孔隙数量为$n_p$：
\begin{description}
    \item 孔隙的平均长度$d$：沿流管方向，所有孔隙的平均长度，满足$d = P_L \cdot \frac{L}{n_p}$； 
    \item 孔隙的平均间距：$\frac{L}{n_p}$，即流管内相邻孔隙的平均距离。
\end{description}

\begin{equation}
d = P_L \cdot \frac{L}{n_p}
\end{equation}
可推导得孔隙数量与各参数的关系：
\begin{equation}
n_p = \frac{P_L \cdot L}{d}
\end{equation}

\subsection{流管并联的有效热导率}
材料整体的总热流$\dot{Q}_{\text{总}}$为所有流管热流之和，流管按是否含孔洞分为两类：
\begin{description}
    \item 固体流管（无孔洞）：等效热导率$\bar{k}_t = \kappa$，总横截面积$A_s = A(1-P_C)$（$P_C$为横截面空洞率，$A$为材料总横截面积）；
    \item 多孔流管（含孔洞）：等效热导率$\bar{k}_t$（式\ref{eq:tube_eq_k}），总横截面积$A_p = A P_C$。
\end{description}

根据并联等效热导率逻辑（式\ref{eq:parallel_k}），总热流满足：
\[
\dot{Q}_{\text{总}} = \dot{Q}_s + \dot{Q}_p = \kappa \cdot \frac{\Delta T}{L} \cdot A_s + \bar{k}_t \cdot \frac{\Delta T}{L} \cdot A_p
\]
代入$A_s = A(1-P_C)$、$A_p = A P_C$，对材料整体应用傅里叶定律$\dot{Q}_{\text{总}} = \kappa_{\text{整体}} \cdot \frac{\Delta T}{L} \cdot A$，联立消去$\Delta T$与$A$，得材料整体有效热导率：
\begin{equation}
\kappa_{\text{整体}} = \kappa (1-P_C) + \bar{k}_t P_C
\end{equation}

\subsection{完整等效热导率公式}
结合串并联关系、孔洞热导率通用式（\ref{eq:general_pore_k}）与孔洞率定义，推导多孔材料整体等效热导率$\kappa_{\text{总}}$：
1. 单条热流路径（串联）：$\frac{L}{\bar{k}_t} = \frac{L(1-P_L)}{\kappa} + \frac{L P_L}{k_p}$，解得流管等效热导率$\bar{k}_t = \frac{\kappa k_p}{\kappa P_L + k_p (1-P_L)}$；
2. 材料整体（并联）：$\kappa_{\text{总}} = \kappa (1-P_C) + \bar{k}_t P_C$；
3. 代入$k_p = 4\gamma e\sigma \bar{T}^3 d$，最终得：
\begin{equation}
\kappa_{\text{总}} = \kappa (1-P_C) + \frac{\kappa P_C \cdot 4\gamma e\sigma \bar{T}^3 d}{\kappa P_L + 4\gamma e\sigma \bar{T}^3 d (1-P_L)}
\end{equation}

该公式综合固体热导率$\kappa$、孔洞率$P_L/P_C$、孔洞几何/辐射参数，可直接用于均匀多孔材料的热导率计算。

\input{点接触模型.tex}

\input{新模型.tex}

\input{仿真.tex}

\section{含交替多孔区-固体区材料的热导率}
在工程应用中，为兼顾力学强度与低导热特性，常设计“固体区域与多孔区域交替排列”的结构（如分层多孔材料）。这类材料的热导率具有显著各向异性，需结合热流与区域排列方向的相对关系推导，且统一用$k_p$表征多孔区域的热导率（不展开具体形式，仅作为已知热导参数）。

\subsection{热流平行于交替区域的等效热导率}
当热流方向与区域排列方向平行时（如热流沿分层方向传递），固体区域与多孔区域在垂直热流方向呈并联分布——热流同时穿过两类区域，总热流为两类区域热流之和，符合并联等效逻辑（式\ref{eq:parallel_k}）。

设：
\begin{itemize}
    \item 固体区域热导率为$\kappa$，多孔区域热导率为$k_p$；
    \item 横截面空洞率$P_C$（多孔区域总横截面积/材料总横截面积），固体区域面积分数为$1-P_C$；
    \item 材料总横截面积为$A$，热流方向总长度为$L$，两端总温差为$\Delta T$。
\end{itemize}

由并联等效热导率公式（\ref{eq:parallel_k}），代入$A_s = A(1-P_C)$、$A_p = A P_C$，整理得热流平行于交替区域的等效热导率$\kappa_{\parallel}$：
\begin{equation}
\kappa_{\parallel} = \kappa (1-P_C) + k_p P_C
\end{equation}

物理意义：热流平行于区域排列时，多孔区域仅通过“面积占比”影响总热导，固体区域的高导热特性主导整体热流，故$\kappa_{\parallel}$随$P_C$增大而降低，但降幅受$k_p$限制。


\subsection{热流垂直于交替区域的等效热导率}
当热流方向与区域排列方向垂直时（如热流垂直于分层方向传递），固体区域与多孔区域沿热流方向呈串联分布——热流需依次穿过两类区域，总温度降为两类区域温度降之和，符合串联等效逻辑（式\ref{eq:series_k}）。

设：
\begin{itemize}
    \item 固体区域热导率为$\kappa$，多孔区域热导率为$k_p$；
    \item 长度分数空洞率$P_L$（多孔区域总长度/材料总长度），固体区域长度分数为$1-P_L$；
    \item 材料热流方向总长度为$L$，总横截面积为$A$，两端总温差为$\Delta T$。
\end{itemize}

由串联等效热导率公式（\ref{eq:series_k}），代入$L_s = L(1-P_L)$、$L_p = L P_L$，整理得热流垂直于交替区域的等效热导率$\kappa_{\perp}$：
\begin{equation}
\frac{L}{\kappa_{\perp}} = \frac{L(1-P_L)}{\kappa} + \frac{L P_L}{k_p}
\end{equation}
化简得：
\begin{equation}
\kappa_{\perp} = \frac{\kappa k_p}{\kappa P_L + k_p (1-P_L)}
\end{equation}

物理意义：热流垂直于区域排列时，多孔区域的低导热特性通过“串联热阻叠加”显著提升总热阻，故$\kappa_{\perp}$远小于$\kappa_{\parallel}$，且随$P_L$增大而急剧降低，体现多孔区域对热流的阻隔作用。

\begin{thebibliography}{3}  % 数字对应参考文献总数，若新增后是第2条则写2，按需调整
  \bibitem{loeb1954thermal} ARTHUR L. LOEB. Thermal Conductivity: VIII, A Theory of Thermal Conductivity of Porous Materials. \textit{Journal of the American Ceramic Society}, 1954, 37(2): 96-99.
  \bibitem{chen2004effective} 陈奎, 于帆, 张欣欣, 魏高升. 基于空心球聚合体的多孔介质有效导热系数的两种模型. \textit{北京科技大学学报}, 2004, 06: 650-654.
  \bibitem{smith2013thermal} Smith, D. S., Alzina, A., Bourret, J., Nait-Ali, B., Pennec, F., Tessier-Doyen, N., Otsu, K., Matsubara, H., Elser, P., Gonzenbach, U. T. Thermal conductivity of porous materials. \textit{Journal of Materials Research}, 2013, 28(17): 2260-2272. DOI: 10.1557/jmr.2013.179.
\end{thebibliography}

\appendix

\section{COMSOL+MATLAB仿真代码}
% 第一个代码块：generate.m
\begin{lstlisting}[language=Matlab,
  caption={3D立方体随机生成球形孔洞并计算空隙率},
  label={lst:generate}]
clear; clc;
import com.comsol.model.*
import com.comsol.model.util.*
model = ModelUtil.create('Model');
model.component.create('comp1', true);
geom1 = model.component('comp1').geom.create('geom1', 3);


geom1.feature.create('blk1', 'Block');
geom1.feature('blk1').set('size', [5, 5, 3]); 
geom1.feature('blk1').set('pos', [0, 0, 0]);  

holeNum = 200;
minHoleRadius = 0.05;       
maxHoleRadius = 0.15; 
cubeSize = [5, 5, 3]; 

for i = 1:holeNum
   
    holeRadius = minHoleRadius + rand() * (maxHoleRadius - minHoleRadius);
    cx = holeRadius + rand() * (cubeSize(1) - holeRadius);
    cy = holeRadius + rand() * (cubeSize(2) - holeRadius);
    cz = holeRadius + rand() * (cubeSize(3) - holeRadius);

    sphereName = ['sph' num2str(i)];
    geom1.feature.create(sphereName, 'Sphere');
    geom1.feature(sphereName).set('r', holeRadius);
    geom1.feature(sphereName).set('pos', [cx, cy, cz]);
    holeVolumes(i) = (4/3) * pi * holeRadius^3;
end

cubeVolume = prod(cubeSize);
totalHoleVolume = sum(holeVolumes);
porosity = totalHoleVolume / cubeVolume;  
fprintf('===================== 空隙率计算结果 =====================\n');
fprintf('立方体总体积：\t\t%.8f\n', cubeVolume);
fprintf('所有孔洞累计体积：\t%.8f\n', totalHoleVolume);
fprintf('多孔介质空隙率：\t%.8f (%.7f%%)\n', porosity, porosity*100);
fprintf('=========================================================\n');

geom1.run();
model.save('3D_porous_medium1.mph');

\end{lstlisting}

% 空行分隔，第二个代码块：p.m
\begin{lstlisting}[language=Matlab,
  caption={有效导热系数随体积分数变化的计算与绘图（T=300K）},
  label={lst:p}]
clear; clc; close all;
T = 300;
k0 = 235.988436 - 0.663191454*T^1 + 0.00403072646*T^2 - 1.39161256e-5*T^3 + 2.39071664e-8*T^4 - 1.98206006e-11*T^5 + 6.36310053e-15*T^6;
fprintf('计算结果 k0 = %.8f (T = %d K)\n', k0, T);       
kf = 0.026;    
ks = k0;         
c = linspace(0, 1, 1001);
keff = zeros(size(c));  

for i = 1:length(c)
    ci = c(i); 
    if 0 <= ci && ci <= 0.15
        numerator = ks * (kf + 2*ks + 2*ci*(kf - ks));
        denominator = kf + 2*ks - ci*(kf - ks);  
        keff(i) = numerator / denominator;
    elseif 0.15 < ci && ci <= 0.65
        A = kf*(3*ci - 1) + ks*(2 - 3*ci);
        keff(i) = 0.25 * (A + sqrt(A^2 + 8*ks*kf));
    elseif ci > 0.65

        term1 = 1/(kf - ks);   
        term2 = (1 - ci)/(3*ks);
        keff(i) = ks + ci / (term1 + term2);
    end
end

figure('Color','white','Position',[100,100,800,600]);
plot(c, keff, 'LineWidth',2, 'Color','#2E86AB');      

hold on;
plot([0.15,0.15], [min(keff),max(keff)], '--r', 'LineWidth',1.5); 
plot([0.65,0.65], [min(keff),max(keff)], '--r', 'LineWidth',1.5);  
scatter([0.15,0.65], [keff(find(c==0.15)), keff(find(c==0.65))], ...
        60, 'red', 'filled');  
title(['有效导热系数随体积分数的变化曲线 (T = ', num2str(T), ' K)'], 'FontSize',16, 'FontName','SimHei'); 

xlabel('体积分数 c', 'FontSize',14, 'FontName','SimHei');  
ylabel('有效导热系数 k_{eff} (W/(m·K))', 'FontSize',14, 'FontName','SimHei'); 

legend(['k_{eff}-c曲线 (T=', num2str(T), ' K)'], '分段点', 'Location','best', 'FontSize',12, 'FontName','SimHei');  

text(0.8, max(keff)*0.9, ['温度: ', num2str(T), ' K'], 'FontSize',14, 'FontName','SimHei', 'Color','#E63946', 'FontWeight','bold');

grid on; 
grid minor;
set(gca, 'FontSize',12, 'FontName','SimHei');  
ylim([min(keff)*0.95, max(keff)*1.05]); 

fprintf('c=0.15时，keff=%.4f (T = %d K)\n', keff(find(c==0.15)), T);
fprintf('c=0.65时，keff=%.4f (T = %d K)\n', keff(find(c==0.65)), T);
\end{lstlisting}

\end{document}